Fer una votació sembla una cosa fàcil: escull un candidat, conta els vots, i anuncia el guanyador.

Malgrat aquesta aparença de simplicitat, quan hi ha més de dos candidats, els resultats poden no reflectir les preferencies dels votants.

Suposem que un grup de quinze persones ha de decidir quina de tres begudes (llet, cervesa o vi) prefereixen guardar a la nevera. Sis persones prefereixen la llet al vi a la cervesa. Cinc persones prefereixen la cervesa al vi a la llet. I quatre persones prefereixen el vi a la cervesa a la llet. Si cada persona pogués només votar per la seva beguda preferida, la llet guanyaria, la cervesa quedaria segona i el vi últim (6 a 5 a 4). Però si mirem les preferencies dels votants ens adonarem que nou persones prefereixen la cervesa a la llet. També, nou persones prefereixen el vi a la llet, i deu prefereixen el vi a la cervesa. Això indica que els votants prefereixen vi a la cervesa a la llet, justament el resultat oposat al resultat obtingut quan els votants tenien un sol vot.

I que passaria si hi hagués una serie de votacions eliminatories, on la primera volta no produeix un guanyador si aquest no obté més de la meitat de vots? En aquest cas, a la primera volta el vi quedaria eliminat (per 6 a 5 a 4), i a la segona volta (on només quedarien dos candidats) la cervesa guanyaria a la llet (per 9 a 6).

O sigui, en aquests tres sistemes de votacions, en la primera de les votacions va guanyar la llet, a la segona el vi i a la tercera la cervesa. "Els votants no canvien les seves opcions en absolut" diu el matematic Donald G. Saari "només canvies el procediment de la votació i obtens resultats diferents". Saari i Fabrice Valognes de la universitat de Caen, a França, descriuen paradoxes electorals i metodes matematics per estudiar-ne els efectes en el numero d'octubre '98 del Mathematics Magazine. Aquests problemes amb les votacions van preocupar a uns quants matemàtics de la França del segle 18. El 1770 Jean-Charles de Borda (1733-1799) es preguntava si l'ús del metode anomenat votació de pluralitat (el primer dels descrits, el d'una sola volta en el qual es vota a un sol candidat) a l'Academia de Ciències no va distorsionar les preferencies dels membres, permetent a canditats "inferiors" sortir elegits. Ell va proposar un sistema de votacions actualment anomenat de Borda, que assigna punts a les diferents preferencies. En una votació amb tres candidats, s'assignen dos punts a la primera preferencia de cada votant, un punt a la segona i cap a la tercera. El guanyador serà el candidat que obtingui més punts. Aplicat a l'exemple de les begudes, guanyaria el vi, la cervesa quedaria en segon lloc i la llet quedaria en darrer lloc (per 17 a 14 a 12 punts). Aquest resultat és el mateix que l'obtingut amb el segon dels metodes anteriors (el que te en compte l'ordre de les preferencies enlloc de la preferencia principal). Malgrat això, no sembla haver-hi cap raó en particular per escullir 2, 1 i 0 punts enlloc de qualsevol altre puntuació, com 6-5-0, 4-1-0 o fins i tot 1-1-0.

Als 1780s, Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat (1743-1794), Marquès de Condorcet, va argumentar a favor d'un metode alternatiu en el qual el guanyador és qui derrota a tots els altre candidats en votacions per parelles. En l'exemple de les begudes el vi guanyaria als altres dos candidats (vi-llet: 9 a 6; vi-cervesa: 10 a 5), la llet perdria sempre (llet-vi: 6 a 9; llet-cervesa: 6 a 9) i la cervesa com veieu perd i guanya un cop de cada. El resultat és vi-cervesa-llet per tercer cop, reflectint l'ordre de preferencies dels votants. El metode Condorcet, però, pot fallar. Per exemple, suposem que cinc persones prefereixen A a B a C, cinc prefereixen B a C a A i cinc persones més prefereixen C a A a B. Una forma natural de procedir seria enfrontar A a B, i després enfrontar el guanyador a C. En aquest cas A guanyaria clarament a B, per després perdre contra C. Aparentment doncs, C guanyaria a B. Però B guanyaria a C si s'enfrontessin entre ells. "Sigui quin sigui el candidat que s'enfronta en últim lloc, guanya decisivament." diuen Saari i Valognes "Concretament, no hi ha guanyador ni perdedor Condorcet".

Així doncs, quin metode d'eleccions és millor? Saari va fer servir idees matematiques de l'estudi de sistemes dinàmics, a vegades anomenats a la lleugera teoria del caos, i geometria algebraica per identificar situacions en les quals diferents metodes de votacions fallen. Els resultats indiquen que, per més de dos candidats, sempre poden ser trobats exemples de procediments electorals en els que els resultats afavoreixen un resultat especific. "Pots obtenir el resultat que tu vulguis" diu en Saari "i malgrat tot sense que ningú canvii d'idea".

El que de fet compta és que, malgrat alguns problemes, el metode de Borda és el millor sistema. "Redueix significativament el nombre de paradoxes que poden sorgir" diu en Saari. Encara més, "si alguna cosa va malament fent servir el metode de Borda, anirà malament també, matematicament i necessaria, en qualsevol altre metode."

El pitjor metode de fet és el de la votació de pluralitat, curiosament el més usat en tot tipus de contextes (des de colles d'amics fins a eleccions governamentals), segurament degut a la rapisesa del metode. En eleccions en que dos o més candidats han de sortir escollits, donant als votants la opció de votar per tants candidats com vulguin, fins a un nombre màxim coincident amb el nombre de llocs a omplir, complica els resultats encara més. Això pot explicar l'estrafalarietat que sovint es troba en les llistes de les cent millors pel.licules del món o dels millors matemàtics de la història. "Manipular eleccions vol dir aprofitar-se de les paradoxes electorals", diu en Saari. �s util identificar què pot anar bé i què pot anar malament.

En general, "a qui elegeixes reflecteix més els metodes utilitzats que no pas a qui prefereixes" afegeix. "Metodes dolents poden comportar vils resultats electorals"

Referències:

Saari, D.G. 1995. Basic Geometry of Voting. New York: Springer-Verlag.

1995. A chaotic exploration of aggregation paradoxes. SIAM Review 37(March):37.

1992. Millions of election outcomes from a single profile. Social Choice and Welfare 9:277.

Saari, D.G., and F. Valognes. 1998. Geometry, voting, and paradoxes. Mathematics Magazine 71(October):243.

Informació adicional disponible a la pàginaweb d'en Donald Saari's

Aquesta web és una traducció/adaptació/mirror d'en Salvador Cases d'una web de l'Ivars Peterson.

Comentaris etc: salvac@eresmas.net

- - - -

trobat aquí: http://www.geocities.com/Broadway/Stage/8733/votacions.html